多元函数微分学

向量代数与空间解析几何

向量及其运算

向量的坐标表示

在空间直角坐标系下，与 $x,y,z$ 轴同向的单位长向量依次记为 $\boldsymbol{i,j,k}$，空间中任意向量$\boldsymbol{a}$ 可以唯一表示为 $\boldsymbol{a}=a_x\boldsymbol{i}+a_y\boldsymbol{j}+a_z\boldsymbol{k}$，其中 $a_x,a_y,a_z$ 是 $\boldsymbol{a}$ 依次在三个坐标轴上的投影，也记为 $\boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z)$。$|a|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$

对应分量成比例的两个向量平行。

向量的数量积（点乘）与向量积（叉乘）

给定两个向量 $\boldsymbol{a}=(a_x,a_y,a_z),\boldsymbol{b}=(b_x,b_y,b_z)$，设它们之间的夹角为 $\theta$，则数量积定义为 $\boldsymbol{a\cdot b}=|\boldsymbol{a}|\ |\boldsymbol{b}| \cos \theta$，并有公式

$$\boldsymbol{a\cdot b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z, \quad \cos\theta =\dfrac{\boldsymbol{a\cdot b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}=\dfrac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}$$

两个向量垂直的充要条件为 $\boldsymbol{a\cdot b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0$。

向量积 $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}$ 定义为同时垂直于 $\boldsymbol{a,b}$ 且满足右手定则的向量，它的模 $|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta$，并有公式

$$\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k}\\ a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}$$

$|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|$ 表示了以 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 为邻边的平行四边形的面积。
向量积满足反交换律，左（右）分配律，结合律等运算法则。两个向量平行的充要条件为 $|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=0$。

三个向量 $\boldsymbol{a,b,c}$ 的混合积定义为 $[\boldsymbol{a,b,c}]=(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c}$，其绝对值表示以向量 $\boldsymbol{a,b,c}$ 为棱的平行六面体的体积。
三个向量共面的充要条件为 $[\boldsymbol{a,b,c}]=0$，并有公式

$$[\boldsymbol{a,b,c}]=\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z\\ b_x & b_y & b_z\\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix},\qquad (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c}=(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot \boldsymbol{a}=(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})\cdot \boldsymbol{b}$$

空间的平面和直线

此类问题求解的核心为法向量。

平面方程

法向量：与平面垂直的任意非零向量，称为该平面的法向量。

(1) 点法式：给定点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 及非零向量 $\boldsymbol{n}=(A,B,C)$，则经过点 $P_0$ 与 $\boldsymbol{n}$ 垂直的平面方程为

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

(2) 截距式：设 $a,b,c$ 分别为平面在 $x,y,z$ 轴上的截距，则此时的平面方程为

$$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$$

(3) 一般式：$Ax+By+Cz+D=0$，其中 $A,B,C$ 不全为零。此时 $\boldsymbol{n}=(A,B,C)$ 是该平面的法向量。

(4) 三点式：设平面过不共面的三点$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2),C(x_3,y_3,z_3)$，则此平面方程为

$$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}=0$$

直线方程

(1) 一般式：
$\begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases}$ 其几何意义为互不平行的平面交线。

(2) 对称式：过点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 且与方向向量 $\boldsymbol{v}=(l,m,n)$ 平行的直线的标准式方程为

$$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$$

(3) 参数式：
$\begin{cases} x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt \end{cases}$

(4) 两点式：
$\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}=\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\dfrac{z-z_1}{z_2-z_1}$

(5) 向量式：
$\boldsymbol{L}=\overrightarrow{OP_0}+t\boldsymbol{\nu}$

直线、平面之间的相对位置关系

利用法向量判断平行、垂直和计算夹角。

距离公式

(1) 点到平面的距离 $\displaystyle d=\dfrac{Ax_0+By_0+Cz_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

(2) 点到直线的距离 $d=\dfrac{|\overrightarrow{M_0P_0}\times\boldsymbol{\nu}|}{|\nu|}$，$M_0$在直线上。

(3) 两直线间的距离 $d=\dfrac{|\overrightarrow{P_1P_2}\cdot (\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})|}{|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|}$

空间的曲面与曲线

空间曲面方程

(1) 一般方程 $F(x,y,z)=0$

(2) 显式方程 $z=f(x,y)$

(3) 参数方程
$\begin{cases} x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\\ z=z(u,v) \end{cases} \qquad (u,v)\in D$，其中 $D$ 为 $uv$ 平面上某一区域。

旋转曲面方程：一条空间曲线 $C$ 绕一条直线 $L$ 旋转一周所生成的曲线称为旋转曲面。曲线 $C$ 称为准线，直线 $L$ 称为旋转轴，$C$ 在旋转过程中的每一个位置称为母线。
$yOz$ 坐标面上的曲线 $C:f(y,z)=0$ 绕 $z$ 轴的旋转面方程为 $f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$；绕 $y$ 轴旋转面方程为 $f(y,\pm \sqrt{x^2+z^2})=0$。

柱面方程：延空间曲面 $C$ 平行移动的直线 $l$ 所生成的曲面称为柱面，动直线 $l$ 在移动中的每一个位置称为母线，曲线 $C$ 称为准线。
以 $xOy$ 平面上的曲线 $C:f(x,y)$ 为准线，母线平行于 $z$ 轴的柱面方程为 $f(x,y)=0$。

锥面方程：设 $M_0$ 是空间曲线 $C$ 外的一点，连接点 $M_0$ 与 $C$ 上每一点的直线生成的曲线称为锥面。

在空间曲线的方程 $C:\begin{cases} F_1(x,y,z)=0\\ F_2(x,y,z)=0 \end{cases}$ 中，经过同解变形分别消去变量 $x,y,z$ 后得到方程 $F(y,z)=0;G(x,z)=0;H(x,y)=0$ 则它们分别为 $C$ 在 $yOz,xOz,xOy$ 平面上的投影曲线。

多元函数相关概念

二元函数的极限与连续

设二元函数 $z=f(x,y)$ 定义在平面点集 $E$ 上，$P_0(x_0,y_0)$ 是 $E$ 的聚点，$A$ 为一常数，若对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$，使得适合不等式 $0<|P_0P|=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta$ 的一切点 $P(x,y)$ 都有 $\displaystyle |f(x,y)-A|<\varepsilon$ 成立，则二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的二重极限记为
$\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A$。

若 $\displaystyle\lim\limits_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 连续。

性质：
(1) 有界闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值。
(2) 初等函数在定义区域上处处连续。

偏导数

(1) 函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处固定一个自变量，对另一个自变量求导数，称为偏导数。

$$f_x(x_0,y_0)=\dfrac{d}{dx}f(x,y_0) \bigg |_{x=x_0}\quad ,\quad f_y(x_0,y_0)=\dfrac{d}{dy}f(x_0,y) \bigg |_{y=y_0}$$

$f_x(x_0,y_0)$ 也记为 $\dfrac{\partial z}{\partial x}\bigg |_{(x_0,y_0)},\dfrac{\partial f}{\partial x} \bigg |_{(x_0,y_0)},f_x(x_0,y_0),f'_1 ( x_0 , y_0)$。

如果 $f_x(x_0,y_0)$ 与 $f_y(x_0,y_0)$ 都存在，则称 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 可偏导。
**注：**可偏导不一定连续。

(2) 在区域 $D$ 上对 $f(x,y)$ 的偏导数再求偏导数称为二阶偏导数；同理可以推广至高阶。
例：$\dfrac{\partial }{\partial x}\left(\dfrac{\partial z}{\partial x}\right)=\dfrac{\partial ^2 z}{\partial x^2}$ 或记为 $f_{xx}(x,y),{f}''_{11}(x,y)$。

(3) 二阶偏导数 $f_{xy}(x,y),f_{yx}(x,y)$ 称为函数 $z=f(x,y)$ 的二阶混合偏导数，当这两个二阶混合偏导数在区域 $D$ 内连续时 $f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)$。

(4) **多元复合函数求导的链式法则：**先划出链式关系，后沿各路径依次求导。

全微分

(1) 如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全增量 $\Delta z =f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 可表示为 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)(\rho\to 0)$，其中 $A,B$ 是与 $\Delta x,\Delta y$ 无关而仅与点 $(x,y)$ 有关的常数，$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$。
则称 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微分，记 $dz=Adx+Bdy$，称其为 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全微分。

(2) 全微分与偏导数的关系 $z=f(x,y)$ 可微时，$dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}dy$。

(3) 如果函数 $z=f(x,y)$ 的偏导数 $\dfrac{\partial z}{\partial x},\dfrac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x,y)$ 连续，则函数在该点可微。

(4) 微分的形式不变性：对于可微函数 $z=f(x,y)$，无论 $x,y$ 是自变量还是中间变量，微分 $dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}dy$ 恒成立。

隐函数求导法

(1) 设函数 $F(x,y,z)$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的某一领域内具有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0,z_0)=0$，则对于隐函数 $z=f(x,y)$ 有 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=-\dfrac{F_x}{F_z},\dfrac{\partial z}{\partial y}=-\dfrac{F_y}{F_z}$。

(2) 隐函数组求导法----应用两次隐函数求导法则，后求解方程组。

隐函数求导方法
(i) 直接求导法 对 $x,y$ 分别求偏导。
(ii) 全微分法 对函数求微分，再利用全微分与偏导数的关系。
(iii) 公式法 直接利用隐函数的求导公式求解。

多元函数微分学的应用

曲线的切线

(1) 设有空间曲线$\Gamma:x=x(t),y=y(t),z=z(t)$。若 $x'(t),y'(t),z'(t)$ 连续且不同时为零，则称其是光滑曲线。在曲线上点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的切线方程为
$\dfrac{x-x_0}{x'(t_0)}=\dfrac{y-y_0}{y'(t_0)}=\dfrac{z-z_0}{z'(t_0)}$，切向量为 $\pm (x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$，法平面为 $x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$。

(2) 设有光滑的空间曲面 $\Gamma:\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{cases}$ 其中 $F,G$ 可微，则可将曲线视为 $x$ 的参数方程，对 $x$ 求偏导。

曲面的切平面

光滑曲面：$F(x,y,z)=0$ 上的点 $M(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面方程为
$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$。
法线方程为：$\dfrac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\dfrac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$。
法向量为: $(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_z(x_0,y_0,z_0))$。

多元函数的无条件极值

(1) 极值存在的必要条件：设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$具有偏导数，且在该点处取得极值，那么 $f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$。使得两个偏导数同时为零的点称为驻点。

(2) 极值存在的充分条件：设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某领域内有二阶连续偏导数，$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$。令 $f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C,\Delta=AC-B^2$ 则：

(i) 当 $\Delta > 0$ 时 $f(x_0,y_0)$ 是极值，且当 $A<0$ 时取极大值，当 $A>0$ 时取极小值。

(ii) 当 $\Delta <0$ 时 $f(x_0,y_0)$ 不是极值。

(iii) 当 $\Delta =0$ 无法判断。

解题方法：
(1) 求出 $D$ 内的驻点和不可导点。
(2) 求边界上的可疑极值点。
(3) 比较各点的函数值。

多元函数的条件极值

指多元函数在一个或多个约束条件 例：$\phi (x,y)=0$，下所具有的极值。

计算方法：
法一：利用约束方程将多元函数转化为一元函数。后利用一元函数性质求解极值。
法二：拉格朗日乘数法。

求二元函数 $z=f(x,y)$ 在约束条件下 $\phi(x,y)=0$ 下的极值，其中 $f,\phi$ 都可微，可以按照如下步骤：
(1) 构造拉格朗日函数 $L(x,y)=f(x,y)+\lambda\phi(x,y)$。
(2) 求解方程组
$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=f_x(x,y)+\lambda \phi_x(x,y)=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial y}=f_y(x,y)+\lambda \phi_y(x,y)=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial \lambda}=\phi(x,y)=0 \end{cases}$
(3) 方程的解为条件极值问题的可疑极值点。

注： 对于多元函数可设有多个乘数。

多元函数积分学

重积分

重积分概念

二重积分定义：

$$\small \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i$$

为函数 $f(x,y)$ 在二维有界闭区域 $D$ 上的二重积分。

三重积分定义：

$$\small \iiint\limits_\Omega f(x,y,z)dV_i=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i$$

为函数 $f(x,y)$ 在闭空间 $\Omega$ 上的三重积分。