一元函数积分学

不定积分

不定积分的定义

原函数的定义 设函数 $F(x)$ 与 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内有定义，若对于任意 $x\in(a,b)$ 有

$$\small F'(x)=f(x)\quad \text{或}\quad dF(x)=f(x)$$

不定积分的定义 函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上带有任意常数的原函数称为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分，记作 $\small \displaystyle \int f(x)dx$

设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\small \displaystyle\int f(x)dx=F(x)+C,C$ 为任意常数。

[注] 用不同的积分方法对同一个函数积分，可能得到不同的结果

不定积分的基本性质

$\small \displaystyle (1)\int f'(x)dx = f(x) + C\qquad (2)\dfrac{d}{dx}\left[ \int f(x)dx\right]=f(x)$

$\small \displaystyle (3)\int[k_1f(x)\pm k_2g(x)]dx=k_1\int f(x)dx\pm k_2\int g(x)dx (k_1,k_2\text{不同时为零})$

基本积分表

(1) $\small \displaystyle\int k dx = kx +C$

(2) $\small \displaystyle\int x^\alpha dx =\dfrac{x^{a+1}}{a+1}+C$

(3) $\small \displaystyle\int \dfrac{1}{x}=\ln |x|+C$

(4) $\small \displaystyle\int\dfrac{1}{1+x^2}dx=\arctan x +C$

(5) $\small \displaystyle\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C$

(6) $\small \displaystyle\int \cos x=\sin x+C$

(7) $\small \displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C$

(8) $\small \displaystyle\int \sec^2xdx=\tan x+C$

(9) $\small \displaystyle\int \csc^2 xdx=-\cot x +C$

(10) $\small \displaystyle\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$

(11) $\small \displaystyle\int \csc x\cot xdx=-\csc x +C$

(12) $\small \displaystyle\int e^x dx=e^x+C$

(13) $\small \displaystyle\int a^xdx=\dfrac{a^x}{\ln a} +C$

(14) $\small \displaystyle\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C$

(15) $\small \displaystyle\int\cot xdx =\ln |\sin x|+C$

(16) $\small \displaystyle\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac{1}{a} \arctan \dfrac{x}{a}+C$

(17) $\small \displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-a^2}dx = \dfrac{1}{2a}\ln {\dfrac{x-a}{x+a}+C}$

(18) $\small \displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx =\arcsin \dfrac{x}{a}+C$

(19) $\small \displaystyle\int\dfrac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}} = \ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|$

(20) $\small \displaystyle\int\sec xdx=\ln {|\sec x+\tan x|}+C$

(21) $\small \displaystyle\int \csc xdx=\ln {|\csc x- \cot x|}+C$

(22) $\small \displaystyle\int\sinh xdx = \cosh x+C$

(23) $\small \displaystyle\int\cosh xdx=\sinh x+C$

不能表达为初等函数的积分(积不出来)

$$\small \int e^{\pm x^2}dx,\int\dfrac{\sin x}{x}dx,\int \sin^2 xdx,\int \dfrac{dx}{\ln x},\int \dfrac{dx}{\sqrt{1+x^4}},\int\sqrt{1+x^3}dx,\int\sqrt{1-k^2\sin^2x}dx$$

这类积分经过分部积分或换元积分转化后的积分都积不出来，如$\small \displaystyle\int \dfrac{e^u}{u} du$

本节例题

不定积分的计算

凑微分法

设 $\small \displaystyle\int f(u)du=F(u)+C,$ 且 $u=\phi(x)$ 可微，则

$$\small \int f[\phi(x)]{\phi}'(x)dx=\int f[\phi(x)]d\phi(x)=F[\phi(x)]+C.$$

求解策略：

• 凑复杂项
• 转化为有理函数积分
• 熟悉常见的凑积分形式

常见的凑微分形式：

$(1)x^{n-1}f(kx^n+p)dx=\dfrac{1}{kn}f(kx^n+p)d(kx^n+p)$

$(2)\cos xf(k\sin x+p)dx=\dfrac{1}{k}f(k\sin x+p)d(k\sin x+p)$

$\quad \ \sin xf(k\cos x+p)dx=-\dfrac{1}{k}f(k\cos x+p)d(k\cos x+p)$

$\quad \ sec^2xf(\tan x+p)dx=\dfrac{1}{k}f(k\tan x+p)d(k\tan x+p)$

$(3)e^xf(ke^x+p)dx=\dfrac{1}{k}f(ke^x+p)d(ke^x+p)$

$(4)\dfrac{1}{x}f(k\ln x+p)dx=\dfrac{1}{k}f(k\ln x+p)d(k\ln x+p)$

$(5)f(\arcsin x)\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=f(\arcsin x)d(\arcsin x)$

$\quad \ f(\arctan \dfrac{x}{a})\dfrac{dx}{a^2+x^2}=\dfrac{1}{a}f(\arctan \dfrac{x}{a})d(\arctan \dfrac{x}{a})$

$(6)\dfrac{xdx}{1+x^2}=\dfrac{1}{2}\ln (1+x^2)$

换元积分法

设 $x=\phi(t)$ 严格单调并可微，且 ${\phi}'(x)\neq 0,$ 若 $\int f[\phi(t)]{\phi}'(t)dt=\Phi(t)$
则

$$\small \int f(x)dx = \Phi[\phi^{-1}(x)]+C$$

换元积分法使用的基本类型

某些根式的换元法 下列积分经过给定的换元都可以化为有理函数的积分。

若积分形式为 $\small \displaystyle\int R(x,\sqrt[n]{ax+b})dx,$ 则取换元 $u=\sqrt[n]{ax+b}$

若积分形式为 $\small \displaystyle\int R(x,\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}})dx,$ 则取换元 $u=\sqrt[n]{\dfrac{ax+b}{cx+d}}$

若积分形式为 $\small \displaystyle\int R(\sqrt[p]{x},\sqrt[q]{x})dx,$ 则取换元 $u=\sqrt[n]{x},$ 其中 $n$ 是 $p,q$ 的最小公倍数

倒代换： 当分子次数远小于分母次数时，可试使用倒代换, 即令$t=\dfrac{1}{x}$。

例题：$\small \displaystyle \int \dfrac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}=\underline{-\ln \dfrac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}+C}$

三角函数代换法

注： 若表达式中含有平方和差，可能可以使用换元积分法

若积分形式为 $\small \displaystyle \int R(x,\sqrt{a^2-x^2})dx(a > 0),$ 则取换元 $x=a\sin t$

若积分形式为 $\small \displaystyle \int R(x,\sqrt{a^2+x^2})dx(a > 0),$ 则取换元 $x=a\tan t$

若积分形式为 $\small \displaystyle \int R(x,\sqrt{x^2-a^2})dx(a > 0),$ 则取换元 $x=asect$

分部积分法

若 $u=u(x)$ 与 $v=v(x)$ 可微，且 ${u}'(x)\dot v(x)$ 具有原函数，则有

$$\small \int u(x){v}'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x){u}'(x)dx 或 \\ \small \int udv = uv-\int vdu$$

凑微分原则

1. 进行分部积分法后能降次（可能需要多次进行，逐步降次或建立递推方程）
2. 进行分部积分法后能化成有理函数积分或其他熟悉的积分形式
3. 对可求原函数的部分进行凑微分(移到d后面)
4. 能建立不定积分方程

基本类型：

1、若被积函数是三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数与多项式之间的乘积时，通常使用分部积分法。

凑微分优先级(通常)： 指数函数、三角函数 $>$ 多项式 $>$ 对数函数 $>$ 反三角函数

2、幂三指函数: 对于 $x^n e^{\lambda x},$ 分别于$\cos ax,\sin bx$ 的乘积及其线性组合称为幂三指函数。幂三指函数求导和求积分运算具有封闭性(运算后多项式最高次不变)。
可以使用待定系数法求不定积分

有理函数积分

求解步骤

1. 如果被积函数是假分式，则需先化为有理数式于真分式之和。方法：长除法
2. 用待定系数法适当配项(或代入特殊值)，将真分式化为部分分式，得到四个基本类型的积分，再逐项积分

四个基本类型：

$$(1)\small \displaystyle\int \dfrac{A}{x-a}dx;\qquad (2)\int \dfrac{A}{(x-a)^n}dx(n=2,3\cdots)$$

$(1,2)$ 结果易知

$$(3)\small \displaystyle\int \dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}dx\qquad (4)\int \dfrac{Mx+N}{(x^2+px+q)^n}dx(n=2,3,\cdots)$$

$(3)$ 只需将分母配方后，再用基本的积分公式(对应 $(4)k=1$ 的情况)。

$(4)$ 用分部积分法，最后得出递推公式，需要多次积分才可以完成。令 $t=x+\dfrac{p}{2},$ 化为

$$\small \int\dfrac{Ax+B}{(x^2+px+q)^k}dx=\int\dfrac{At+N}{(t^2+r^2)^k}dt=A\int\dfrac{t}{(t^2+r^2)^k}dt+N\int\dfrac{dt}{(t^2+r^2)^k}$$

则有递推公式 $\small \displaystyle I_k=\dfrac{1}{2(k-1)r^2}\left(\dfrac{t}{(t^2+r^2)^{k-1}}+(2k-3)I_{k-1}\right)$

待定系数法引用的其他类型 将积分改写为 $\small \displaystyle\int \dfrac{df(x)}{f(x)}+\int \dfrac{dx}{f(x)}$ 后，逐项积分。

1、形如 $\small \displaystyle I=\int \dfrac{px+q}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx$ 的积分，一定可以分解为

$$\small \displaystyle I=A\int \dfrac{d(ax^2+bx+c)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx+B\int \dfrac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx$$

2、形如 $\small \displaystyle I=\int \dfrac{A\sin x+B\cos x}{C\sin x+D\cos x}dx$ 的不定积分

三角函数有理式的积分

三角函数的有理式的积分

半角代换： $\small \displaystyle \int R(\sin x,\cos x)dx$ 经过万能代换 $t=\tan \dfrac{x}{2},$ 则有

$$\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$$

代入到积分表达式中可将该积分化为有理函数积分。

这种积分方法具有普遍性，但解题过程繁琐。特殊情况下可以用如下方法化简：

1. 若 $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$ (关于$\cos x$是奇函数)，则可令 $t=\sin x,$
2. 若 $R(-\sin x,\cos x)=-R(-\sin x,\cos x)$ (关于$\sin x$是奇函数)，则可令 $t=\cos x,$
3. 若 $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$ 则可令 $t=\tan x,$

三角恒等变换

1. 利用倍角公式降低三角函数的幂次;
2. 对于 $\small \displaystyle\int \sin mx \cdot \sin nxdx,\int \sin mx \cdot\cos nxdx,\int \cos mx \cdot\cos nxdx(m\neq n)$ 可利用积化和差来计算
3. 对于 $\small \displaystyle\int \sin^m x \cdot \cos^nx dx (1)$ 当 $m,n$ 中有一个奇数，可拆分用凑微分法计算； $(2)$ 当 $m,n$ 都是偶数，可利用倍角公式逐步求出积分
4. 对于 $\small \displaystyle\int \sin^nxdx,\int \cos^n xdx$ 可利用分部积分法导出的递推公式计算，也可按(3)处理

定积分概念

定积分的定义

$$\small \int^b_af(x)dx=I=\lim\limits_{\lambda \to 0}\sum\limits_{i=1}^nf(\xi)\Delta x_i(\lambda=\max\limits_{1\le i\le n}{\Delta x_i})$$

其中 $b$ 为积分上限，$a$ 为积分下限，$f(x)$ 为被积函数， $dx$ 为积分变量

注:

1. 此时为 $\lambda\to 0$ , 而不是 $n \to \infty $, 区间是任意划分的
2. 定积分是一个数，与积分变量的写法无关。

定积分的存在性(黎曼可积)

定理1、 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。

定理2、 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

定理3、 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个不连续的点则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

定理4、 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

注 对可积函数变动有限个点的值，可积性不变，积分值不变

推论： 在 $[a,b]$ 上定义的两个函数，如果只在有限个点处具有不同的函数值，其中一个函数可积，则另一个函数必可积，且积分值相等。

牛顿-莱布尼茨公式 $f$ 在 $[a,b]$ 黎曼可积，$F(x)$为 $f(x)$ 的一个原函数，则

$$\small \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)\bigg |^a_b$$

定积分的性质

定积分基本性质

规定 1 当 $a = b$ 时，令 $\small \displaystyle\int_a^bf(x)dx=0.$

规定 2 当 $a > b$ 令 $\small \displaystyle\int^b_af(x)dx=-\int^a_bf(x)dx$

性质2.1(线性性质) $f,g,\alpha f(x)+\beta g(x)$ 均黎曼可积

$$\small \int^b_a[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int^b_af(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx$$

性质2.2(区间可加性)

$$\small \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$$

性质2.3

$$\small \int_a^b1dx=b-a$$

性质2.4(积分保号性) 若 $f(x)\geq 0$ 则

$$\small \int^b_af(x)dx\geq 0 (a<b)$$

推论 1 (积分单调性) 若 $f(x)\le g(x)$

$$\small \int_a^bf(x)dx\le \int_a^bg(x)dx (a<b)$$

推论 2 (估值定理) 若 $m\le f(x)\le M$

$$\small m(b-a)\le \int_a^bf(x)dx\le M(b-a)$$

推论 3 (积分恒等性) 设函数 $f(x),g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且恒有 $f(x)\leq g(x)$. 若 $\small \displaystyle \int_a^b f(x)dx=\int_a^bg(x)dx,$ 则在 $[a,b]$ 上

$$\small f(x)\equiv g(x)$$

特别地，$g(x)\equiv 0$ 时 $f(x)\equiv 0$

性质 2.5

$$\small \left |\int_a^bf(x)dx\right | \le \int_a^b|f(x)|dx (a<b)$$