一元函数的极限与连续

极限定义和性质

极限的定义

数列极限的定义 ($\varepsilon-N$定义)
若 $\forall \varepsilon>0,\exists N>0,$ 当 $n>N$时，总有$|a_n-A|<\varepsilon$ 则称 ${a_n}$ 的极限为 $A$ 或称 ${a_n}$ 收敛于 $A,$ 记作 $\lim\limits_{n\to 0}a_n=A$ 或 $a_n\to A (n\to \infty)$

函数极限的定义 ($\varepsilon-\delta$定义)

若 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,$ 当 $o<|x-a|<\delta$ 时，总有$|f(x)-A|<\varepsilon$ 则称当 $x\to a$ 时 $f(x)$ 的极限为 $A$ 记作 $\lim\limits_{x\to a}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A \quad (x\to a)$

极限的性质

双侧极限，单侧极限
右极限：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个右领域内有定义. 若存在常数 $A,$ 对于任意
给定的正数 $\varepsilon,$ 总存在正数 $\delta$ 使得 $x_0<x<x_0+\delta$ 时有 $|f(x)-A|<\varepsilon$
则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的右极限，记作

$$\lim\limits_{x\to x_0^{\ +} }f(x)=A\quad\text{或}\quad f(x_0^{\ +})=A \quad\text{或}\quad f(x_0+0)=A$$

(1)$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在的充要条件是左极限 $\lim\limits_{x\to x_0^{\ -} }f(x)$ 与右极限$\lim\limits_{x\to x_0^{\ +} }f(x)$ 都存在且相等

(2)$\lim\limits_{x\to \infty}f(x)$ 存在的充要条件是左极限 $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)$ 与右极限$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$ 都存在且相等

唯一性

若极限存在，则必唯一

有界性

$(1)$ 若数列极限 $\lim\limits_{n\to \infty}x_n$ 存在，则存在 $M>0,$ 对于一切 $n$ 都有 $|\ x_n\ |\le M$ 成立

$(2)$ 若 $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$ 存在，则存在 $\delta$ 及 $M>0,$ 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时就有 $|f(x)|\le M$ 成立

数列极限存在，则数列有界。函数极限存在，则局部有界。

保号性

若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A>B,$ 则存在 $\delta>0,$ 当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时就有 $f(x)>B$ 成立

极限的求解方法

定义法

利用极限的定义来求解

求解策略: 先猜后证法

极限的四则运算与复合运算

初等函数的定义：由基本初等函数，经过有限次四则运算或有限次复合，得到的能用一个式子表示的函数

极限的四则运算的前提：单个极限必须存在

复合运算的极限法则
设函数 $y=f(g(x))$ 是由函数 $y=f(u),u=g(x)$ 复合而成，若 $\lim\limits_{u\to a}f(u)=A,\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=a,$ 且在某个 $\bigcup\limits^o(x_0)$ 内有 $g(x)\ne a$ 或 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，则 $\lim\limits_{x\to x_0}f[g(x)]=A$

无穷量的计算

无穷小和无穷大的性质

1. 有限个无穷小的和或差仍是无穷小;有限个无穷大的和或差仍是无穷大
2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小；有界函数与无穷大的和是无穷大
3. 无穷大的倒数是无穷小；无穷小的倒数是无穷大
4. 因变量 $S\to a$ 的充要条件是：存在无穷小 $\gamma$，使得 $S=a+\gamma$
5. 无穷小 $\alpha$ 和 $\beta$ 等价的充要条件是 $\beta=\alpha+o(\alpha)$
6. 等价无穷小(大)具有反身性、对称性和传递性

无穷小量分出法

$\displaystyle\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0}{b_mx^m+\cdots+b_1x+b_0}=\left\{\begin{matrix}\infty \qquad (n>m)\\ \frac{a_n}{b_n} \qquad (n=m)\\ 0 \qquad (n<m) \end{matrix}\right.$

无穷小的阶
设 $\alpha,\beta$ 都是无穷小

1. 如果 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta}=0$ 则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小，记作 $\alpha=o(\beta)$
2. 如果 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta}=A\neq 0$ 则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的同阶无穷小，记作 $\alpha=O(\beta)$
3. 如果 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta}=1$ 则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的等价无穷小，记作 $\alpha\sim\beta$

无穷小阶的运算

设 $m,n$ 是正整数，当 $x\to 0$ 时，$f(x)=o(x^m),g(x)=o(x^n),$ 其中 $m>n$ 则：

$(1) f(x)=o(x^n) \quad$ 记作 $o(x^m)=o(x^n);$

$(2) f(x)\pm g(x)=o(x^n) \quad$ 记作 $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^n);$

$(3) f(x)g(x)=o(x^{m+n}) \quad$ 记作 $o(x^m)\times o(x^n)=o(x^{m+n});$

$(4) \dfrac{f(x)}{x^n}=o(x^{m-n}) \quad$ 记作 $\dfrac{o(x^m)}{x^n}=o(x^{m-n})$

单调有界准则

准则：单调有界数列必有极限

(1) 若 ${x_n}$ 是单调增加且有上界的数列，则 $\lim\limits_{n\to \infty} x_n$ 存在；若数列无上界，则 $\lim\limits_{n\to \infty} x_n=+\infty$

(2) 若 ${x_n}$ 是单调减少且有下界的数列，则 $\lim\limits_{n\to \infty}x_n$ 存在；若数列无下界，则 $\lim\limits_{n\to \infty}x_n=-\infty$

常见单调性的判断方法

1. 前项减后项 $a_{n+1}-a_n$
2. 放置于函数中讨论

夹逼准则(迫敛准则)

若 $\alpha\le \gamma\le\beta$ 且 $\lim \alpha=\lim\beta=A,$ 则 $\lim\gamma=A$

特殊情况

1. 如果数列 ${x_n}$ 满足 $\lim\limits_{n\to \infty}|x_n|=0$，则 $\lim\limits_{n\to \infty}x_n=0$
2. 如果数列 ${y_n}$ 有界且数列 ${x_n}$ 满足 $\lim\limits_{n\to \infty}x_n=0$ ，则$\lim\limits_{n\to \infty}x_ny_n=0$

加强形式：若 $\min(\alpha,\beta)\le\gamma \le max(\alpha,\beta)$ 且 $\lim \alpha=\lim\beta=A,$ 则 $\lim\gamma=A$

等价无穷小

等价无穷小替换：

设 $\alpha \sim\alpha_1,\beta\sim\beta_1$ 且 $\lim\frac{\beta_1}{\alpha_1}$ 存在，则 $\lim\frac{\beta}{\alpha}=\lim\frac{\beta_1}{\alpha_1}$

常见的等价无穷小：
$\small (1)\ (x\to 0)\qquad \ln (1+x) \sim \arctan x \sim \sin x\sim x \sim \arcsin x\sim \tan x \sim e^x-1$
$\small (2)\ x-\sin x\sim\frac{1}{6}x^3,\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}x^3$
$\small (3)\ \tan x-x\sim \frac{1}{3}x^3,x-\arctan x\sim \frac{1}{3}x^3$
$\small (4)\ x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}x^2$
$\small (5)\ e^x-1\sim x,a^x-1\sim x\ln a$
$\small (6)\ x\sim \ln (1+x)\quad(x\to 0),\ln x\sim x-1\quad (x\to 1)$
$\small (7)\ (1+x)^a-1\sim ax,\sqrt[n]{1+x}-1\sim \dfrac{1}{n}x,1-\cos^\alpha x\sim \frac{\alpha}{2}x^2$

替换原则

(1) 乘除法中，无穷小因子可以直接替换

(2) 加减法中需满足上下同阶或无穷小同阶不等价原则后，才可以替换

海涅定理(归结原则)

$(1)\ \displaystyle\lim\limits_{x\to a} f(x)=A$ 的充要条件为：对于任意趋向于 $a$ 的数列 ${x_n},$ 都有 $\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=A$

$(2)\ \displaystyle\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=A$ 的充要条件为：对于任意趋向于 $+\infty$ 的数列 ${x_n},$ 都有 $\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=A$

$(3)\ \displaystyle\lim\limits_{x\to a} f(x)=\infty$ 的充要条件为：对于任意趋向于 $a$ 的数列 ${x_n},$ 都有 $\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\infty$

列与子列的关系

$(1) \displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}x_n=A(\infty)$ 的充要条件是对于 ${x_n}$ 任何子数列 $x_{k_n}$ 都有 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}x_{k_n}=A(\infty)$

$(2)$ 设数列 ${x_n}$ 被分为 $m$ 个互不相交的子数列，则 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}x_n=A$ 的充要条件是这 $m$ 个子数列的极限都是 $A$

特别有 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}x_n=A$ 的充要条件是 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}x_{2n}=A$ 且 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}x_{2n+1}=A$

$\scriptsize \left\{\begin{matrix} \text{至少一个子列发散} \\ \text{存在两个子列收敛于不同的极限} \end{matrix}\right.$

洛必达法则

分式型为不定式 $\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}$ 的洛必达法则(其他类型未定式需转为此类型)

设 $(1)\ \lim f(x)=\lim g(x)=0 (\infty)$

$(2)\ x\in \bigcup\limits^o(a),\exists f'(x),g'(x)$ 且 $g'(x)\neq 0$

$(3)\ \lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A(\infty)$

则 $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=A(\infty)$

注意

1. 洛必达法则使用的条件是苛刻的，即使是 $\frac{0}{0}$ 也不一定能使用，如 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(x\sin(\frac{1}{x}))}{x\sin\frac{1}{x}}$ 不能使用甚至极限不存在
2. 洛必达法则是后验的，若 $\lim\limits_{x\to \infty}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=A(\infty)$ 不存在且不为 $\infty$ 不能得出原极限不存在(即此时洛必达法则失效，需使用其他方法)
3. 使用洛必达法则后，若仍是未定式，但符合洛必达法则条件，可以再次使用
4. 多数情况，单纯使用洛必达法则会出现越算越复杂的情况甚至算不出来。因此要先简化式子，打组合拳，综合使用多种方法。

泰勒公式

具体内容见第二章；

微分中值定理

具体内容见第二章；

*积分与积分定义

$$\int_a^bf(x)dx=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{b-a}{cn}\sum\limits_{k=1}^cnf[a+\dfrac{b-a}{cn}\cdot k]$$

基本策略

1. 人为提出 $\frac{1}{n}$
2. 不足缺项
3. 放缩

例如：
$\scriptsize \displaystyle\dfrac{1}{n}\cdot\dfrac{1}{1+(\dfrac{k}{n})^2}=\int_\frac{k}{n}^\frac{k+1}{n}\dfrac{1}{1+(\dfrac{k}{n})^2}dx\quad(x\ge \dfrac{k}{n})\ge \int_\frac{k}{n}^\frac{k+1}{n}\dfrac{1}{1+x^2}$

若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义且有界，且在 $[0,1]$ 可积 $,p$ 是整数，则 $\scriptsize\displaystyle\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{n+p}\sum\limits_{k=1}^nf(\dfrac{k}{n+p})=\int_0^1f(x)dx$

无穷级数

见第四章无穷级数;

比值法与根值法的极限

(1) 设比值极限 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}\left|\dfrac{a_n}{a_{n-1}}\right|=q,$ 若 $q<1,$ 则 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=0;$ 若 $q>1,$ 则 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=\infty$

(2) 设比值极限 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=q,$ 若 $q<1,$ 则 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=0;$ 若 $q>1,$ 则 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=\infty$

*施托尔兹(stolz)定理

设函数 ${b_n}$ 单调增加且 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=+\infty$ 或数列 ${b_n}$ 严格单调递减且 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}b_n=0,\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=0$
如果 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$ 存在或为 $\infty$, 则 $\displaystyle\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$

当 $a_n=\sum\limits_{k=1}^nc_k$ 或 $b_n=\sum\limits_{k=1}^nd_k$ 可以简化运算。

*欧拉常数

(调和级数) $1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{n}=\ln n+C+o(1)$ 其中 $C$ 为欧拉常数约为 0.5772

*斯特林公式

$$n!=\sqrt{2\pi n}n^ne^{-n+\frac{\theta n}{12n}}\qquad 0<\theta_n<1 \\ n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

常用模型的处理方法

先求通项再就极限

两类重要极限

第一类重要极限 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}$

第二类重要极限 $\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

$1^{\infty}$ 三步走：

1. 写出 $(1+f(x))^{g(x)} \quad (f(x)\to 0 ,g(x)\to \infty)$ 的形式
2. 求出 $\lim f(x)g(x)=A$
3. 答案为 $e^A$

根式的处理方法————有理化

倒代换(无穷大处理方法)
令 $t=\frac{1}{x}$ 将无穷大量转为无穷小量

幂指形函数处理方法
通过取对数运算，将其转化为乘积的极限

加减法与乘除法的转化
加减法通过取指数 $\small \displaystyle\lim f(x)=\lim \ln e^{f(x)}$ 转为乘积的形式

乘除法通过取对数 $\small \displaystyle\lim f(x)=\lim e^{\ln (f(x))}$ 转为加减法的形式

一元函数的连续性

连续与间断

连续函数的定义：设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个领域内有定义，若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$ 则称 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

注： $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续等价于
$\scriptsize \left\{ \begin{matrix} f(x) \text{在某领域内有定义，} f(x_0) \text{存在}\\f(x) \text{左右极限存在且相等}\\ \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \end{matrix} \right.$

间断点及其分类

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有定义，但在 $x_0$ 不连续，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 点间断，并称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点

$x_0$ 是间断点的 $3$ 种情况

(1) $f(x_0)$ 无定义，但在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义

(2) $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 不存在

(3) $f(x)$ 有定义且 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在，但 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0)$

间断点的类型

第一类间断点：左右极限均存在的间断点
(1) 可去间断点： $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在
(2) 跳跃间断点：在 $x_0$ 处 $f(x)$ 的左右极限都存在但不相等。

第二类间断点：左右极限至少一个不存在
(3) 无穷间断点：左右极限至少一个为无穷大
(4) 振荡间断点：极限不存在且振荡

闭区间上连续函数的性质

最值定理：$f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有最大值和最小值

介值定理：介于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上最大值 $M$ 和最小值 $m$ 之间的任何值 $c,$ 至少存在一点 $x_0\in[a,b],$ 使得 $f(x_0)=c\qquad (x_0$ 不唯一 $)$

零点定理： 若 $f(a)f(b)<0,$ 则至少存在一点 $x_0\in (a,b)$ 使得 $f(x_0)=0$