行列式

n阶行列式值的性质
- 交换行列式两行（列），行列式变号
- 行列式某一行（列）所有元素都乘以同一个数k，等于数k乘此行列式
  $\left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 j}+a_{1 i} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 j}+a_{2 i} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n j}+a_{n i} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 i} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 i} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n i} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$
- 把行列式的某一行（列）的元素乘以k加到另一行（列）对应的元素上去，行列式值不变
  $\left|\begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 i} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 i} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n i} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots & \left(a_{1 i}+k a_{1 j}\right) & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & \left(a_{2 i}+k a_{2 j}\right) & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & \cdots & \left(a_{n i}+k a_{n j}\right) & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|$
- $|A| = |A^T|$
- $|\lambda A| = \lambda^n |A|$
- $|A_1 A_2 \cdots A_n| = |A_1||A_2| \cdots |A_n|$
- 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
  $D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in}$
行列式值的计算
- 定义法——含较多0时考虑
  
  $\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| = \sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}} (-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}$
- 行（列）变换，化为上三角矩阵
  - 将对角线元素相乘
- 各行加到同一行上去——各列元素之和相等
- 递推法——三对角行列式
- 加边法——各列含多个相同元素

矩阵

运算
- 矩阵乘法不满足交换律
矩阵转置
- $(A^T)^T=A$
- $(A+B)^T = A^T +B^T$
- $(\lambda A)^T = \lambda A^T$
- $(AB)^T = B^T A^T$
逆矩阵
- 定理1.1 若方阵可逆, 则它的逆矩阵是唯一的
- $(A^{-1})^{-1} = A$
- $(AA^{-1}) = E$
- $(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1}$
- $(A_1 A_2 \cdots A_m)^{-1} = A_{m}^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}$
初等行变换
- 交换两行
- 把 K(k≠0) 乘以某一行的所有元素
- 把某一行(第j 行)所有元素的k倍加到另一行(第i 行)对应的元素上去、
矩阵的秩 $r(B)$ $r (B)$
- 定义：化为行简化阶梯阵的非零行数
- 等价（相抵）：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P, Q$ ，使得 $PAQ = B$
- 矩阵转置秩不变
- $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆的充要条件为 $r(A)=n$

向量空间

运算
- 加减
- 数乘
- 向量的平行
  - 两个向量平行 $\Leftrightarrow \beta = k \alpha$
  - 三个向量共面 $\Leftrightarrow \gamma = \mu_1 \alpha + \mu_2 \beta$
基
- 定义
  - $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}$ 线性无关——任意一个向量不能用其他向量线性表示
    - 线性表示: $\beta = k_1\alpha1 + k_2\alpha2 +\cdots + k_m\alpha_m$
  - $V$ 中任意向量均可由其线性表示
  - $m$ 称为 $V$ 的维数,记为 $dim (V ) = m$
- 只含零向量的向量空间称为 0 维向量空间,因此它没有基
- 若把向量空间 V 看作向量组,那么V 的基就是该向量组的极大无关组,V的维数就是该向量组的秩
- 向量空间V 的基不惟一, 但所有的基都等价
- 若 $dimV = r$ , 则 $V$ 中任意 $r+1$ 个向量均线性相关,任意 $r$ 个线性无关的向量都是一组基
正交向量组
- 定义：一组非零的 $n$ 维向量, 且两两正交
标准正交基
- 定义：一组非零的 $n$ 维向量, 且两两正交的单位向量
- 求解：
  - 找到一组基
  - 施密特正交化
    - $\beta_1 = \alpha_1$
    - $\beta_2 = \alpha_2-\dfrac{(\beta_1, \alpha_2)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$
    - $\beta_3 = \alpha_3-\dfrac{(\beta_1, \alpha_3)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\dfrac{(\beta_2, \alpha_3)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2$
  - 单位化
    - $e_1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|}, e_2 = \frac{\beta_2}{|\beta_2|}, \cdots, e_r = \frac{\beta_r}{|\beta_r|}$
向量组
- 定义： $m$ 个 $n$ 维向量的集合称为向量组
- 定理3.3 向量 b 可由向量组 A: 线性表示 $\Leftrightarrow$ 方程组有解
- 向量组的等价
  - 两个向量组能相互线性表示
  - 反身性、对称性、传递性
极大线性无关组
- 求解
  - 进行初等行变换化为行简化阶梯阵
  - 行简化阶梯阵 B 的非零行的第一个非零元对应的列向量组可选为 B 的列向量组的极大无关组。其余列可用极大无关组线性表示.
  - A 中对应的列向量组是A的极大无关组并可将 A 中其余列用 A 的极大无关组线性表示. 且系数相同。B中非零行数是A的秩
向量组的秩
- 定义：极大线性无关组的向量个数
- 性质
  - 向量线性无关的充要条件是其秩等于向量组所含向量的个数
  - 若向量组A可由向量组B线性表示，向量组A的秩为 $r$ ，向量组B的秩为 $s$ ， $r\le s$
  - 等价向量组有相同的秩
  - 设A为 $m*n$ 矩阵, 则 $r(A)\le \min\{m.n\}$
  - 进行初等行变换不改变列向量的线性关系
  - n阶方阵A可逆 $\Leftrightarrow$ 其行(列)向量组线性无关 $r(A) = n$
  - $r(AB)\le \min\{ r(A), r(B)\}$
  - $r(A\pm B)\le r(A)+ r(B)$