行列式

  • n阶行列式值的性质

    • 交换行列式两行（列）， 行列式变号
    • 行列式某一行（列）所有元素都乘以同一个数k，等于数k乘此行列式∣a11⋯a1j+a1i⋯a1na21⋯a2j+a2i⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯an1⋯anj+ani⋯ann∣=∣a11⋯a1j⋯a1na21⋯a2j⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯an1⋯anj⋯ann∣+∣a11⋯a1i⋯a1na21⋯a2i⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯an1⋯ani⋯ann∣\scriptsize \left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 j}+a_{1 i} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 j}+a_{2 i} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n j}+a_{n i} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 i} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 i} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n i} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|
    • 把行列式的某一行（列）的元素乘以k加到另一行（列）对应的元素上去，行列式值不变
      ∣a11⋯a1i⋯a1j⋯a1na21⋯a2i⋯a2j⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1⋯ani⋯anj⋯ann∣=∣a11⋯(a1i+ka1j)⋯a1j⋯a1na21⋯(a2i+ka2j)⋯a2j⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1⋯(ani+kanj)⋯anj⋯ann∣\scriptsize \left|\begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots & a_{1 i} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2 i} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n i} & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccccccc} a_{11} & \cdots & \left(a_{1 i}+k a_{1 j}\right) & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & \cdots & \left(a_{2 i}+k a_{2 j}\right) & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & \cdots & \left(a_{n i}+k a_{n j}\right) & \cdots & a_{n j} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|
    • ∣A∣=∣AT∣|A| = |A^T|
    • ∣λA∣=λn∣A∣|\lambda A| = \lambda^n |A|
    • ∣A1A2⋯An∣=∣A1∣∣A2∣⋯∣An∣|A_1 A_2 \cdots A_n| = |A_1||A_2| \cdots |A_n|
    • 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
      D=ai1Ai1+ai2Ai2+⋯+ainAinD = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in}

  • 行列式值的计算

    • 定义法——含较多0时考虑

      ∣a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯an1an2⋯ann∣=∑j1j2⋯jn(−1)τ(j1j2⋯jn)a1j1a2j2⋯anjn\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right| = \sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}} (-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}

    • 行（列）变换，化为上三角矩阵

      • 将对角线元素相乘

    • 各行加到同一行上去——各列元素之和相等

    • 递推法——三对角行列式

    • 加边法——各列含多个相同元素

矩阵

  • 运算

    • 矩阵乘法不满足交换律

  • 矩阵转置

    • (AT)T=A(A^T)^T=A
    • (A+B)T=AT+BT(A+B)^T = A^T +B^T
    • (λA)T=λAT(\lambda A)^T = \lambda A^T
    • (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T

  • 逆矩阵

    • 定理1.1 若方阵可逆, 则它的逆矩阵是唯一的
    • (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A
    • (AA−1)=E(AA^{-1}) = E
    • (λA)−1=1λA−1(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1}
    • (A1A2⋯Am)−1=Am−1⋯A2−1A1−1(A_1 A_2 \cdots A_m)^{-1} = A_{m}^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}
    • 如何求逆矩阵：
      • 左写 AA 右写 BB
      • 进行初等行变换
      • 将左边化为单位矩阵，右侧则为 A−1A^{-1}

  • 初等行变换

    • 交换两行
    • 把 K(k≠0) 乘以某一行的所有元素
    • 把某一行(第j 行)所有元素的k倍加到另一行(第i 行)对应的元素上去、

  • 矩阵的秩 r(B)r(B)

    • 定义： 化为行简化阶梯阵的非零行数
    • 等价（相抵）： 存在nn阶可逆矩阵 P,QP, Q，使得 PAQ=BPAQ = B
    • 矩阵转置秩不变
    • nn 阶矩阵 AA 可逆的充要条件为r(A)=nr(A)=n

向量空间

  • 运算
    • 加减
    • 数乘
    • 向量的平行
      • 两个向量平行 ⇔β=kα\Leftrightarrow \beta = k \alpha
      • 三个向量共面 ⇔γ=μ1α+μ2β\Leftrightarrow \gamma = \mu_1 \alpha + \mu_2 \beta
  • 基
    • 定义
      • α1,α2,⋯ ,αm\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m线性无关——任意一个向量不能用其他向量线性表示
        • 线性表示:β=k1α1+k2α2+⋯+kmαm\beta = k_1\alpha1 + k_2\alpha2 +\cdots + k_m\alpha_m
      • VV 中任意向量均可由其线性表示
      • mm 称为VV的维数,记为 dim(V)=mdim (V ) = m
    • 只含零向量的向量空间称为 0 维向量空间,因此它没有基
    • 若把向量空间 V 看作向量组,那么V 的基就是该向量组的极大无关组,V的维数就是该向量组的秩
    • 向量空间V 的基不惟一, 但所有的基都等价
    • 若 dimV=rdimV = r, 则VV中任意 r+1r+1个向量均线性相关,任意 rr个线性无关的向量都是一组基
  • 正交向量组
    • 定义： 一组非零的 nn 维向量, 且两两正交
  • 标准正交基
    • 定义：一组非零的 nn 维向量, 且两两正交的单位向量
    • 求解：
      • 找到一组基
      • 施密特正交化
        • β1=α1\beta_1 = \alpha_1
        • β2=α2−(β1,α2)(β1,β1)β1\beta_2 = \alpha_2-\dfrac{(\beta_1, \alpha_2)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1
        • β3=α3−(β1,α3)(β1,β1)β1−(β2,α3)(β2,β2)β2\beta_3 = \alpha_3-\dfrac{(\beta_1, \alpha_3)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\dfrac{(\beta_2, \alpha_3)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2
      • 单位化
        • e1=β1∣β1∣,e2=β2∣β2∣,⋯ ,er=βr∣βr∣e_1 = \frac{\beta_1}{|\beta_1|}, e_2 = \frac{\beta_2}{|\beta_2|}, \cdots, e_r = \frac{\beta_r}{|\beta_r|}
  • 向量组
    • 定义：mm 个 nn 维向量的集合称为向量组
    • 定理3.3 向量 b 可由向量组 A: 线性表示 ⇔\Leftrightarrow 方程组 有解
    • 向量组的等价
      • 两个向量组能相互线性表示
      • 反身性、对称性、传递性
  • 极大线性无关组
    • 求解
      • 进行初等行变换化为行简化阶梯阵
      • 行简化阶梯阵 B 的非零行的第一个非零元对应的 列向量组可选为 B 的列向量组的极大无关组。其余列可用极大无关组线性表示.
      • A 中对应的列向量组是A的极大无关组并可将 A 中其余列用 A 的极大无关组线性表示. 且系数相同。B中非零行数是A的秩
  • 向量组的秩
    • 定义： 极大线性无关组的向量个数
    • 性质
      • 向量线性无关的充要条件是其秩等于向量组所含向量的个数
      • 若向量组A可由向量组B线性表示，向量组A的秩为rr，向量组B的秩为ss，r≤sr\le s
      • 等价向量组有相同的秩
      • 设A为m∗nm*n矩阵, 则r(A)≤min⁡{m.n}r(A)\le \min\{m.n\}
      • 进行初等行变换不改变列向量的线性关系
      • n阶方阵A可逆 ⇔\Leftrightarrow 其行(列)向量组线性无关 r(A)=nr(A) = n
      • r(AB)≤min⁡{r(A),r(B)}r(AB)\le \min\{ r(A), r(B)\}
      • r(A±B)≤r(A)+r(B)r(A\pm B)\le r(A)+ r(B)

线性方程组

  • 表示形式
    • 代数形式
    • 矩阵形式 Ax=bAx=b
    • 向量形式 x1α1+x2α2+⋯+xmαm=bx_1\alpha_1 + x_2 \alpha_2+ \cdots + x_m\alpha_m = b
  • 齐次线性方程组

    • 定义: Ax=0Ax = 0 —— 常数项均为 0

    • r(A)=nr(A)=n 则 Ax=0Ax=0 有唯一解（零解）；若 r(A)<nr(A)<n 则为无穷多解

    • Ax=0Ax = 0 解向量的线性组合仍是它的解向量.

    • 基础解系

      • 定义：Ax=0Ax = 0 全体解向量的集合 S=x∣Ax=0S={ x | Ax = 0 } 是一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间, 解空间的基称为该方程组的基础解系
      • 要素
        • η1,η2,⋯ ,ηt\eta_1, \eta_2,\cdots,\eta_t 线性无关
        • Ax=0Ax=0 的任意解都可由其线性表示
        • 则称 其为Ax=0 的一组基础解
        • x=k1η1+k2η2+⋯+ktηtx = k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_t\eta_t 称为 Ax=0Ax=0 的通解
      • 求解方法
        • 对系数矩阵进行初等行变换
        • 化为行简化阶梯阵
        • 写出有效方程个数——矩阵的秩 rr ，自由变量个数 n−rn-r
          • 首行为1所在的列——非自由变量
          • 不是首行为1所在的列——自由变量
        • 自由变量依次取1，构成 Ax=0Ax=0 的一个基础解系
        • 代入通解方程组，得到基础解系，通解为其线性组合
      • 推论 若 m∗nm*n 阵 AA 的秩为rr , 则方程组Ax=0Ax=0 的任意 n−rn-r 个线性无关的解均为Ax=0Ax=0 的基础解系
  • 非齐次线性方程组
    • 定义: 常数项 b1,⋯ ,bnb_1, \cdots,b_n 不全为零
    • Ax=bAx = b 有解 ⇔r(A)=r(A,b){=n 有唯一解,<n 有无穷多解.\Leftrightarrow r(A) = r(A, b) \left\{ \begin{array}{ll} = n & \ 有唯一解, \\ < n & \ 有无穷多解.\end{array} \right.
    • 设 x1x_1 及 x2x_2 都有 Ax=bAx=b 的解，则 x1−x2x_1 - x_2 是对应的齐次方程组 Ax=0Ax = 0 的解。
    • 设 η\eta 是 Ax=bAx = b 的解，ξξ 是 Ax=0Ax = 0 的解，则 η+ξη+ξ 仍是 Ax=bAx=b 的解。
    • 求解:
      • 写出增广矩阵
      • 进行初等行变换，化为行简化阶梯型
      • 写出 r(A)r(A) 和自由变量个数 n−rn-r
      • 写出通解+特解 x=k1ξ1+k2ξ2+⋯+kn−rξn−r+η∗x = k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}+ \color{red}{\eta^*}

矩阵对角化

  • 特征值与特征向量

    • 定义：设 AA 是 nn 阶方阵, 如果存在数 λ\lambda 和 nn 维列向量 x≠0x≠0，使得 Ax=λxAx=\lambda x 成立, 则称 λ\lambda 为 AA 的一个特征值; 非零向量 xx 称为 AA 的属于特征值 λ\lambda 的特征向量, 简称为特征向量
    • 性质：
      • AA 是方阵，特征向量 x≠0x ≠0
      • 特征值λ\lambda 可以是实数, 也可以是复数
      • \
      • 特征值 λ\lambda 对应的特征向量不唯一
    • 特征多项式 f(λ)=∣λI−A∣=∣λ−a11−a12⋯−a1n−a21λ−a22⋯−a2n⋮⋮⋱⋮−an1−an2⋯λ−ann∣=λn+cn−1λn−1+⋯+c1λ+c0f(\lambda) = \left|\lambda I - A\right| = \begin{vmatrix} \lambda - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda - a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda - a_{nn} \end{vmatrix} = \lambda^n + c_{n-1}\lambda^{n-1} + \cdots + c_1\lambda + c_0
    • 特征方程
      • 定义： ∣λE—A∣=0|λE—A|=0 称为AA 的特征方程，它的根称为A的特征根
      • 在复数域内, AA 有 nn 个特征值(可能是重根) 二重根对应着两个线性无关的特征向量
      • nn 阶方阵 AA 的 mm 个不同特征值所对应的特征向量线性无关
    • 若 nn 阶方阵 AA 的特征值是 λ1,λ2,⋯ ,λn\lambda_1,\lambda_2, \cdots, \lambda_n
      • 特征向量的和等于矩阵对角线元素之和 λ1+λ2+⋯ ,λn=a11+a22+⋯+ann=tr(A)\lambda_1+\lambda_2+\cdots, \lambda_n = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} = tr(A) A的迹
      • λ1λ2⋯λn=∣A∣\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|
      • 若 AA 可逆，则 AA 的特征值都 ≠0≠0
    • 任一特征值的几何重数 ≤ 它的代数重数
      • 代数重数：λ作为特征根的重数
      • 几何重数：λ应的线性无关特征向量的个数
    • 性质：
      • λ\lambda 是 AA 的特征值， xx 是 AA 的属于 λ\lambda 的特征向量
      • λk\lambda^k 是 AkA^k 的特征值， xx 是 AkA^k 的属于 λk\lambda^k 的特征向量
      • kλk\lambda 是 kAkA 的特征值， xx 是 kAkA 的属于 kλk\lambda 的特征向量
      • φ(λ)\varphi(\lambda) 是 φ(A)\varphi(A) 的特征值， xx 是 φ(A)\varphi(A) 的属于 φ(λ)\varphi(\lambda) 的特征向量
      • AA 可逆 ，1λ\frac{1}{\lambda} 是 A−1A^{-1} 的特征值， xx 是A−1A^{-1} 的属于 1λ\frac{1}{\lambda} 的特征向量
      • AA 可逆 ，∣A∣λ\frac{|A|}{\lambda} 是 A∗A^{*} 的特征值， xx 是 A∗A^{*} 的属于 ∣A∣λ\frac{|A|}{\lambda} 的特征向量
    • 特征子空间:
      • 如果 λλ 是方阵 AA 的特征值，则 (λE−A)x=0(λE-A)x =0 的解空间称为 AA 的特征子空间，记作V={x∣(λE−A)x=0}={x∣Ax=λx}V=\{ x | (λE-A)x= 0 \} = \{ x | Ax=λx \} 特征子空间 VV 的维数就是特征值 λλ 的几何重数

  • 相似矩阵

    • 定义: A,BA, B 都是 nn 阶方阵, 如果存在 nn 阶可逆矩阵 PP，使得 P−1AP=BP^{-1}AP = B ,则称矩阵 AA 与 BB 相似，记作 A∼BA \sim B
    • 性质：
      • 矩阵的相似关系是一种等价关系 等价：PAQ=B
      • 反身性： 矩阵A与A相似
      • 对称性： 如果矩阵A与B相似, 则矩阵B 与A相似
      • 传递性：如果矩阵A与B相似, B与C相似, 则A与C相似
      • 相似矩阵有相同的特征多项式, 进而有相同的特征值——相似矩阵亦有相同的行列式、秩、迹.
      • 若 nn 阶方阵 AA 与对角阵相似

  • 矩阵对角化

    • 定义： 是指 AA 与对角阵相似，即存在可逆矩阵 PP， 使得 P−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda 成立
    • 性质
      • nn 阶方阵 AA 可以对角化 ⇔A⇔A 有 nn 个线性无关的特征向量
      • 所有特征值的代数重数=它的几何重数
      • λi\lambda_i 都恰有nin_i个线性无关的特征向量组
      • 若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A可 对角化
    • 步骤：
      • 求 ∣λE−A∣=0|λE-A| = 0 的全部根，得到 AA 的 nn 个特征值
      • 对每一个特征值 λλ（重根数为 nn ）求出（λE−A）x=0（λE-A）x= 0 的一个基础解系
        • 若基础解系所含向量个数小于 nn ，则 AA 不能对角化
      • 将所有的基础解系合在一起 P=(x11,x12,⋯ ,xs1,xs2,⋯ ,xsn)P = (x_{11}, x_{12},\cdots, x_{s1}, x_{s2}, \cdots, x_{sn})
      • 写出相似对角阵 P−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda Λ=diag(λ1,λ1,⋯ ,λ2,⋯ ,λs,⋯ ,λs)\Lambda = diag(\lambda_1, \lambda_1, \cdots, \lambda_2, \cdots, \lambda_s, \cdots, \lambda_s)

  • 实对称矩阵对角化

    • 性质
      • 实对称矩阵的特征值为实数
      • 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交
      • 设AA 为 nn 阶实对称矩阵, 则必有 nn 阶正交矩阵 PP ，使得 P−1AP=ΛP^{-1}AP=\Lambda
        • 实对称矩阵A一定正交相似于一个对角阵
        • 实对称矩阵的特征值的几何重数都等于 它们的代数重数
      • 实对称矩阵对角化步骤
        • 求出全部特征值注意验算：特征值的和=主对角线上元素的和
        • 求特征值对应的线性无关特征向量
        • 若特征值为单根，对特征向量单位化; 若特征值为重根，对特征向量正交化、单位化
        • 写出正交矩阵 Q=(p1,p2,⋯ ,pn)Q = (p_1, p_2, \cdots, p_n)
        • 化为对角阵 Q−1AQ=ΛQ^{-1}AQ =\Lambda

二次型

  • 二次型定义及矩阵表示

    • 定义： 含n个变量的二次齐次多项式
    • 二次型的标准型：只含有平方的二次型

  • 二次型的标准形

    • 线性变换
    • 合同：
      • 定义 若 A,BA, B 都是 nn 阶对称矩阵，如果存在 nn 阶 可逆矩阵 CC 使得 B=CTACB=C^TAC, 则称 AA 与 BB 是合同的
      • 若 AA 是对称矩阵，CC 是可逆矩阵，则B=CTACB=C^TAC 也是对称阵，且 r(B)=r(A)r(B)=r(A)
    • 正交变换
      • y=Pxy = Px ，其中P为正交矩阵
      • 保持向量长度（几何形状）不变
      • 任给二次型ff ,总有正交变换 x=Pyx=Py 使 ff 化为标准型
    • 用正交变换化二次型为标准型的具体步骤
      • 将二次型表示成矩阵形式 f=xTAxf=x^TAx
      • 求全部特征值
      • 求特征值对应的线性无关的特征向量
        • 若特征值为单根, 对特征向量单位化
        • 若特征值为重根,对特征向量正交化、单位化
      • 写出正交矩阵 P=(p1,p2,⋯ ,pn)，P−1AP=PTAP=ΛP = (p_1, p_2, \cdots, p_n)， P^{-1}AP = P^TAP = \Lambda
      • 作正交变换 x=Pyx=Py，得标准型 f=xTAx=yT(PTAP)y=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2f=x^TAx = y^T(P^TAP)y = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2+ \cdots + \lambda_ny_n^2
    • 用配方法化二次型为标准形（拉格朗日配方法）
    • 惯性定理与规范形
      • 二次型经不同的可逆线性变换可以得到不同的标 准形, 即二次型的标准形是不唯一的
        • 但标准型中所含平方项的个数必定相同，等于二 次型的秩
      • 规范性
        • 若二次型含有xi的平方项, 则先把含有xi的项集中, 然后配方, 再对其余的变量同样进行, 直到都配成 平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;
      • 惯性定理
        • p,r–pp, r – p 分别称为实二次型的正、负惯性指数 p–(r–p)p – ( r – p ) 称为符号差

  • 正定二次型与正定矩阵

    • 等价条件
      • 二次型 xTAxx^TAx正定二次型
      • A是正定矩阵
      • A合同于单位矩阵
      • A的正惯性指数是n
      • A的特征值都是正数
      • A的顺序主子式都大于0
      • A的主子式都大于0

思维导图

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